POSTADO EM 31/05/21 POR JAM
DEVOLUTIVA - 11/06/21 - WHATTSAP (11) 99470-4477
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Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
Para entendermos o princípio fundamental da contagem vamos analisar a seguinte situação: João possui 4 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir? Observe os esquemas a seguir:
Cada esquema representa todas as possíveis combinações envolvendo os objetos do vestuário de João. Uma maneira mais simplificada e eficaz de resolver tal situação consiste em determinar a multiplicação entre a quantidade de elementos de cada conjunto. Observe: 4 * 3 * 2 * 2 = 48 combinações. De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto. Observe outro exemplo: Numa lanchonete há 8 tipos de sanduíche, 5 tipos de sucos e 6 tipos de sorvetes. Quantas são as possíveis combinações de um lanche nessa lanchonete? Utilizando o princípio fundamental da contagem temos: 8 * 5 * 6 = 240 maneiras de realizar um lanche. Fatorial O fatorial é uma ferramenta matemática utilizada na análise combinatória, na determinação do produto dos antecessores de um número maior que 1. Por exemplo: 1! = 1 2! = 2 * 1 = 2 3! = 3 * 2 *1 = 6 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 6! = 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 720 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 040 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800 E assim sucessivamente. Um exemplo de utilização de fatorial está presente no cálculo de anagramas de uma palavra. Lembrando que anagrama é a quantidade de novas palavras formadas com ou sem sentido, utilizando as letras de outra palavra.
Por exemplo, vamos determinar os anagramas da palavra AMOR. A palavra AMOR é formada por quatro letras, portanto: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 palavras
Notação científica
Notação científica é o modo como ficou conhecida a técnica de escrever números reais muito pequenos ou muito grandes por meio do uso de uma potência de base dez. A forma que as notações científicas assumem, portanto, é:
a·10n
Nessa disposição, a é chamado de mantissa, ou coeficiente, e n é chamado de expoente, ou ordem de grandeza.
Assim, são exemplos de números reais e suas respectivas notações científicas:
0,0003 = 3·10– 4
14000000 = 1,4·107
Como encontrar a mantissa ou coeficiente
A mantissa, ou coeficiente, é obtida ao posicionar a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo do número. Esse reposicionamento da vírgula deve ser feito a partir de divisões ou multiplicações por potências de base dez. Uma técnica prática para essas multiplicações e divisões será discutida mais adiante.
Na forma de notação científica, a mantissa do número 0,00045 é 4,5. Isso acontece porque o primeiro algarismo significativo é quatro. A mantissa do número 3256565 é 3,256565, pois o primeiro algarismo significativo é três, embora todos sejam significativos. Por fim, a mantissa, ou coeficiente, do número 0,000000003 é 3. Isso acontece porque 3,0 = 3.
Expoente ou ordem de grandeza
A ordem de grandeza é assim conhecida porque é ela quem determina quais as dimensões do número em notação científica. Por exemplo, sabemos que a massa do elétron expressada por notação científica possui a seguinte mantissa: 9,10938356. Entretanto, esse número não oferece as reais dimensões da massa do elétron. Para isso, existe a ordem de grandeza. A massa do elétron é da ordem de 10– 28 gramas, ou seja, a massa de um elétron é de:
9,10938356·10– 28 g
Esse número, caso escrito em sua forma decimal, seria:
0,000000000000000000000000000910938356 g
Como encontrar a ordem de grandeza
Se o número a ser escrito na forma de notação científica for decimal, de modo que a vírgula tenha de ser deslocada para a direita para encontrar a mantissa, a ordem de grandeza será negativa e igual ao número de casas decimais que a vírgula deslocou.
Caso a vírgula precise ser deslocada para a esquerda para encontrar a mantissa, a ordem de grandeza será positiva e igual ao número de casas decimais que a vírgula deslocou.
Observe o exemplo da massa do elétron. Até posicionar a vírgula no lado direito do primeiro algarismo significativo, nesse caso o número nove, ela teve de ser deslocada por 28 casas decimais para a direita. Assim, a ordem de grandeza desse número será – 28.
Agora, observe o exemplo do número 896000000000. Quando um número não tem vírgula, significa que ele é inteiro. Nesse caso, podemos adicionar a vírgula e o zero à direita do número, como a seguir:
896000000000,0
Nesse caso, o primeiro algarismo significativo é o número oito. Como a vírgula terá de ser deslocada onze casas decimais para a esquerda, então, a ordem de grandeza desse número será onze positivo.
Como escrever números na forma de notação científica
Para escrever os números na forma de notação científica, basta substituir “a” pelo valor encontrado para a mantissa e “n” pelo valor encontrado para a ordem de grandeza na fórmula a seguir:
a·10n
Observe que, multiplicando a mantissa pela potência de dez com a ordem de grandeza do número inicial, o resultado sempre será esse número.
Exemplos:
1 – Escreva 0,23 na forma de notação científica.
A mantissa é 2,3 porque dois é o primeiro algarismo significativo. Para isso, a vírgula deve ser deslocada uma casa para a direita. Nesse caso, a ordem de grandeza é – 1. Assim:
0,23 = 2,3·10– 1
2 – Escreva 428000000 na forma de notação científica.
A mantissa é 4,28. Para isso, a vírgula deve ser deslocada por nove casas decimais para a esquerda. Assim, a ordem de grandeza é + 8. Portanto:
428000000 = 4,28·108
EXERCICIOS
A - CALCULE OS ANAGRAMAS DAS PALAVRAS ABAIXO
1 - ROUPA
2 - ROMA
3 - OCUPAR
B - ESCREVA OS NUMEROS ABAIXO NA FORMA DE NOTAÇÃO CIENTIFICA
1 - 0,000045
2 - 3450000
3 - 0,12
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