Devolutiva: daltong@professor.educacao.sp.gov.br
Data de entrega: 03/11/20
Análise Combinatória
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.
Princípio Fundamental da Contagem.
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.
Exemplo:
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução:
Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo:
O! = 1 1! = 1 3! = 3.2.1 = 6 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
Vídeo aula:
ATIVIDADE 1 – 2º BIMESTRE.
1 - De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças ?
2 - De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto?
OBSERVAÇÃO:
No assunto do e-mail: coloquem nome, número, série/turma e ATIV. 1.
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